De giros, ángulos y grados Virginia Ferrari

Contenido Para comenzar Preparemos el terreno Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5 Actividad 6 Actividad 7 Actividad 8 Un giro muy pequeñito Actividad 9 Actividad 10 Ficha 1 Ficha 2 Ficha 3 Ficha 4 Para redondear Actividad 11 Los ángulos se clasifican según su medida:* El grado y algo más Referencias bibliográficas Volver a contenido Para comenzar El objeto de estudio de la geometría es el espacio, las nociones, relaciones y transformaciones espaciales, por ello nos es indispensable señalar una primera afirmación básica si queremos abordar el tema del aprendizaje geométrico: el concepto de espacio no es innato, debe ser elaborado, construido a través de la acción interiorizada por cada individuo y en forma paulatina.M.Riveros y P. Zanocco, Geometría: aprendizaje y juego, Santiago, Ed. Universidad Católica de Chile, 1992, p. 22. Una de las nociones cuya adquisición suele ofrecer dificultad a los niños de primaria es la de ángulo. Por lo general, la dificultad radica en que se confunde al ángulo con el o los posibles arcos que pueden considerarse en el mismo. De esta forma, cuanto más cercano esté el arco en cuestión al vértice, el niño considerará que más pequeño es el ángulo, y viceversa. Esta confusión es, en buena medida, explicable, ya que para cuando introducimos el trabajo con ángulos en tercero o cuarto grado de primaria, nuestros alumnos están habituados al uso de la regla y al trabajo de medición con unidades de longitud, por lo que tenderán a medir no sólo el arco sino también la longitud de los lados del ángulo. Así, en la figura 1a, es probable que muchos niños digan que el ángulo A es menor que el B porque el arco más alejado del centro es más grande que el que se encuentra más cerca, o porque aquél parece estar más abierto que éste o, en la figura 1b, porque tiene los lados más largos. Incluso, en niños de cuarto y quinto grado que ya tienen nociones de superficie y área, encontraremos el argumento de que B es mayor que A porque tiene mayor superficie. ¿Cómo, pues, ayudarlos a superar este error? La propuesta que presentan los libros de texto gratuitos de matemáticas para cuarto y quinto ayudan a superar, en gran medida, esta dificultad, ya que se parte del trabajo con giros en los que se toma como unidad de medida del giro una parte del círculo. Esto resulta ser un acierto ya que se trabaja aquí, a la vez, en dos nociones: ángulo y medición de ángulos. El hecho de que los niños lleguen a determinar que lo que importa es qué parte del círculo se gira en un sentido u otro, independientemente del tamaño del arco de circunferencia o del largo de los lados, ayuda a superar las dificultades que anteriormente planteábamos, a la vez que facilita el camino para la adquisición de la noción de grado como una de las unidades para medir ángulos. Volver a contenido Preparemos el terreno Para realizar las actividades 1-8 es necesario tener en cuenta que: . Nos mantenemos en la misma dirección cuando al trasladarnos tenemos siempre, frente a nosotros, un punto de referencia fijo que permanece siempre delante. En este caso, el camino sobre el que nos movemos, o que trazamos al desplazarnos, es recto. . En el momento en que cambiamos de punto de referencia y nuestro camino se tuerce, realizamos un giro. . Cuando luego de cierto número de giros en el mismo sentido -hacia la derecha o hacia la izquierda, en el sentido de las agujas del reloj o a la inversa- llegamos al punto de partida, decimos que hemos dado (o recorrido) una vuelta completa. Antes de realizar los ejercicios propuestos en el libro de texto gratuito, podemos hacer una especie de preparación a la noción que éstos presentan que es la de ángulo -como amplitud de un giro- y su medición. Para ello, proponemos hacer múltiples experiencias de giros en las que se involucren movimientos de todo el cuerpo trasladándose en torno a un punto establecido o imaginario, y movimientos del cuerpo en los que ya no haya traslado pero sí giro (o rotación, pues matemáticamente son sinónimos), que los niños deberán realizar individualmente o en equipo antes de entrar propiamente a hablar de las nociones que nos interesa presentar . He aquí algunos de ellos: Podemos proponer a los niños el siguiente juego a realizar en el patio de la escuela o en el salón de clases, el cual permite afianzar la noción de giro y vuelta completa. Volver a contenido Actividad 1 A. Se establece y fija un punto aproximadamente en el centro del patio. Este punto puede ser un niño, una marca (x) en el piso o un poste, y será el mismo para todo el grupo. B. Cada equipo escoge su logar de base en el que establecerá su punto de partida. C. Se dan, una por vez, las siguientes instrucciones: a. Construye o recorre un camino en el que des una vuelta completa en relación al centro efectuando el menor número de giros posibles sienpre en el mismo sentido. (No es necesario oque los caminos recorridos antes de cada giro sean iguales). Ahora piensa: ¿Cuál fue el menor número de giros necesarios para recorrer una vuelta completa? b. Recorre un camino en el que des una vuelta competa efectuando únicamente 4 giros. Otra vuelta completa en 5 giros, 8, 12, 18, 35. Pídele a un compañero que, en cada caso, marque con un gis el camino que recorres. Observa bien: ¿Qué sucede a medida que aumenta el número de giros? Actividad 2 ¿Qué sucedería si en nuestro recorrido estuviéramos cambiando siempre de dirección y manteniendo siempre una misma distancia del centro. Descúbrelo con la siguiente experiencia. En un equipo de tres niños, uno se mantiene quieto, de pie en un lugar, sosteniendo un extremo de una cuerda en tanto otro camina alrededor sosteniendo el otro extremo de la cuerda, manteniendo ésta tirante para que esté en línea recta constantemente. Si un tercewr niño va marcando en el piso con un gis el camino recorrido por el anterior ¿qué figura habrá quedado trazada al dar una vuelta completa? Actividad 3 El ejercicio anterior se repite ahora sobre un papel o una madera a la que se sujeta, mediante una tachuela, un hil. en el otro extremos del cordel se amarra un lágíz al que se le hace dar una vuelta completa alrededor de la tachuela. Al igual que en el caso anterior, la figura que quedará marcada sobre la hoja será una circunferencia. Una vez trazada la circunferencia, recorta y dobla el círculo a la mitad y luego a la otra mitad, tal como se ve en la figura 3. Repasa en el color que más te guste las líneas del plegado. ¿En cuantas partes dedó dividida la vuelta completa? ¿C´pomo son esas partes entre sí? ¿Qué parte de vuelta completa es cada una? ¿Cómo podemos expresar, en fracciones, la vuelta completa? Actividad 4 Cada uno de estos giros de un cuarto de vuelta completa, recibe en geometría un nombre especial, se llama ángulo recto y las líneas que lo forman (que tú resaltaste en color) se llaman líneas perpendiculares. La amplitud de giro, amplitud del cambio de dirección, se llama ángulo. Piensa: ¿Qué parte del círculo barremos con un ángulo recto? ¿Cunántos ángulos rectos caben en un círculo? Actividad 5 Consigue un pedazo de una tabla de madera en la que quepa holgadamente la circunferencia obtenida en el ejercicio anterior y sujétala mediante un clavo en el centro. Pon un clavo en el extremo de cada una de las líneas del plegado y marca, con un lápiz, la circunferencia. Quita el papel. ¡Has comenzado a fabricar tu propio "geoplano circular"! En él podrás trabajar con mayor facilidad que sobre el papel. Toma dos ligas del mismo color (por ejemplo, rojo) y colócalas estiradas de un clavo al opuesto, pasando por el centro. ¿A qué se parece lo que ves en el geoplano? Así es, a la figura que habíamos obtenido en el papel. ¿En cuántas partes quedó dividida la circunferencia? ¿Cómo son esas partes entre sí? ¿Qué parte es cada una de la circunferencia? ¿Con cuántas formamos una vuelta completa? ¿Cómo lo escribimos? Volver a contenido Actividad 6 ¿Qué podemos hacer con el geoplano? Podemos, por ejemplo, jugar a dar giros de una vuelta completa, media vuelta o un cuarto de vuelta. Para ello mantendremos las ligas rojas que ya pusimos y superponiendo una liga de otro color, del centro a uno de los extremos -éste será nuestro punto de partida- la haremos girar siempre en el mismo sentido (como las agujas del reloj o al revés). Volver a contenido Actividad 7 Volvemos a tomar la circunferencia de papel y plegamos cada uno de los ángulos rectos a la mitad. Repasamos las nuevas líneas obtenidas en un color diferente al inicial. ¿En cuántas partes quedó ahora dividida la circunferencia? ¿Cómo son esas partes entre sí? ¿Cómo se llama cada una de las partes? ¿Cómo se escribe? ¿Cuántos octavos hay en total en la circunferencia? ¿Cómo se expresa esto en números? Volver a contenido Actividad 8 Esta nueva circunferencia dividida en 8 partes iguales la volvemos a poner sobre el geoplano y por ella nos guiamos para clavar 4 clavitos más, de tal manera que la circunferencia nos quede dividida en 8 partes iguales. Nuestro geoplano circular reproduce ahora los dibujos de las páginas 78, 112 y 132 del libro de texto. Volver a contenido Un giro muy pequeñito Surge espontáneamente la pregunta de cómo se habrá pensado en dividir el ángulo completo en 360° precisamente, y de por qué los submúltiplos del grado vienen siempre referidos a la base 60, dividiendo el grado en 60 partes iguales, y el minuto, a su vez, en otras 60 partes. Estas medidas de base sexagesimal fueron introducidas en tiempos remotísimos por los babilonios (siglos VII-VI a.C.), y fueron sugeridas por las observaciones astronómicas. Los babilonios -pueblo contemplativo-, se habían dado cuenta de que las constelaciones se movían en la bóveda celeste, y pensaron que describirían órbitas circulares. Al cabo de un cierto tiempo, una estrella volvía a ocupar en el cielo su antigua posición. Este periodo fue tomado como medida del tiempo, y se llamó año; la alternancia de los días y las noches sugirió después la elección del día como submúltiplo del año. De sus cálculos resultaba que un año -es decir, en el periodo necesario para que una estrella recobrase su posición sobre la bóveda celeste- se componía de unos 360 días. Así, parece que debieron ser estas observaciones de carácter astronómico las que los indujeron a dividir el círculo (la órbita circular) en 360 partes (grados); se cree asimismo que el submúltiplo 60 lo sugirió el hecho de que la división más sencilla del círculo en partes iguales es la división en 6 partes, que da origen, precisamente, a ángulos de 60° (360: 6 = 60). Ésta es la división que lleva al hexágono regular, o sea, al polígono que más abunda en las construcciones babilónicas. Las medidas de los ángulos están, pues, estrechamente ligadas a las medidas del tiempo, y el número 360 ocupa un lugar privilegiado en la historia de la numeración. Una vez trabajada la lección La vuelta al mundo de la página 78 del libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado, y antes de abordar la lección La vuelta al mundo en 360 grados (p. 112), podemos entonces proponer la siguiente actividad que pensamos ayudará en la adquisición de la noción de grado. Podemos plantear, a partir del juego La vuelta al mundo, la necesidad de recurrir a una unidad de medida de giros distinta de la que hemos usado hasta ahora, esto es, de partes de vuelta completa. Volver a contenido Actividad 9 Un día se integró a nuestro grupo de 4º grado un alumno extranjero. Al preguntarle de dónde venía contestó: De Poraquinomas. Muy intrigados y llenos de curiosidad le preguntamos dónde quedaba ese lugar, que por favor lo localizara en nuestro plano. En la siguiente figura podrás ver dónde lo localizó. ¿Cuántos octavos de vuelta hay que girar para43 llegar de Accra a Poraquinomas? ¿Cuánto más lejos queda San Salvador de Poraquinomas? Para responder con mayor precisión a las preguntas anteriores es necesario que recurramos a otra unidad de medida más pequeña que el octavo de vuelta. Podemos ahora introducir el origen del grado parafraseando el relato que acerca del mismo hace Emma Castelnuovo. El maestro puede tomar de esta historia únicamente aquello que tiene que ver con las observaciones de los babilonios ya que, independientemente de la certeza o no de la misma, lo que sí es cierto es que ella da una imagen muy clara de lo que es una vuelta completa y, verdadera o no, hace sentido si disculpamos los errores de observación y de cálculo debidos a la época. En definitiva, con las salvedades del caso, resulta ser didáctica. Una vez narrada , proponemos realizar la siguiente actividad. Volver a contenido Actividad 10 Antes de comenzar, debe aclararse a los alumnos que la actividad consta de momentos en los que se trabaja individualmente y momentos en los que se trabaja en equipo. Es muy importante que cada uno realice aquello que se le indica pues el resultado individual ha de influir en las conclusiones y resultados colectivos. Otra indicación que se debe hacer es que la actividad está dividida en fichas de trabajo que deben ser realizadas una por vez, por lo que únicamente cuando está concluida una, se puede pasar a la siguiente. Sugerimos, en primer lugar, fotocopiar la figura 7 y entregar una a cada uno de sus alumnos. Volver a contenido Ficha 1 Te proponemos aquí reproducir la experiencia de los babilonios y dividir un círculo en 360 partes iguales. ¡360 partes iguales! Parece difícil, pero no lo es tanto si trabajamos en equipo, poco a poco, considerando los siguientes pasos. En primer lugar, formemos equipos de 4 integrantes. Para simplificar la tarea, cada uno trabajará con un cuarto de círculo. Para ello, y para que el resultado final sea de mayor tamaño, cada uno trabajará con una figura en la que ya se encuentra trazado un ángulo recto (este material te lo dará tu maestro). Repasa en color rojo los lados del ángulo y recórtalo tal como indica el dibujo. Divide el cuarto de círculo o ángulo recto, por plegado, en tres partes iguales, tal como lo muestran las figuras 8b y 8c. Repasa en color azul cada una de las líneas del plegado. Tu figura se parecerá a la figura 8d. Piensa: a. ¿En cuántas partes quedó dividido el ángulo recto? b. ¿Qué parte es cada una del ángulo recto? Entre todos los integrantes del equipo contesten: c. ¿Qué parte es cada una del círculo? Pasa a la siguiente ficha. Volver a contenido Ficha 2 Ahora divide por plegado, cada una de las partes obtenidas en el ejercicio anterior en tres partes iguales, tal como se muestra en la figura 9a. Repasa las líneas del plegado en color verde. Tu figura terminada se parecerá a la figura 9b. Reúnete con tus compañeros de equipo y respondan las siguientes preguntas: a. ¿En cuántas partes está dividido ahora el ángulo recto? b. ¿Qué parte es cada una de ellas del ángulo recto? c. ¿Qué parte es cada una de ellas del círculo completo? Pasa a la siguiente ficha. Volver a contenido Ficha 3 Dado que las partes obtenidas son cada vez más pequeñas, la siguiente división no podrá ser por plegado sino que tendrás que trabajar con regla y un lápiz con buena punta. Trata de dividir cada noveno de ángulo recto en 10 partes iguales, tal como lo muestra la figura 10a. No te preocupes si éstas no quedan perfectas, esto lo lograrás más adelante cuando cuentes con instrumentos de mayor precisión. Si no quieres repetir la operación en todos los novenos, basta con que dividas sólo uno y luego calcules cuántas de estas partes serían en total en el ángulo recto. Reúnan y peguen por el lado de atrás con cinta adhesiva los 4 ángulos rectos del equipo, formando un círculo. Éste se parecerá a la figura 10c. Ahora contesten en equipo las siguientes preguntas: a) ¿En cuántas partes quedó dividido el ángulo recto? b) Escribe en fracciones qué parte del ángulo recto es cada una de ellas. c) ¿Cuántas de estas partes hay en el círculo? d) ¿Qué parte del círculo es cada una de ellas? Pasa a la siguiente ficha y léela con mucha atención. Volver a contenido Ficha 4 Cada una de las partes que obtuviste en la ficha 3 es de círculo y recibe un nombre especial, se llama grado. 1 1 grado = --- de círculo 360 El grado es una unidad de medida de ángulos. La palabra "grado" se representa mediante el signo º, a la derecha y arriba del número que indica la medida, por ejemplo, 360º, 90º, 33º. Volver a contenido Para redondear A manera de reafirmación y ejercitación de las nociones recién adquiridas proponemos la siguiente actividad. Existe un instrumento especial para trazar y medir ángulos de manera más precisa. Este instrumento se llama transportador. Volver a contenido Actividad 11 Otro geoplano circular. Como ejercicio que ayuda mucho a los niños a trazar rápidamente ángulos rectos, llanos y completos (o perigonales) así como a visualizar ángulos de diversas medidas, sugerimos la construcción de un geoplano circular con una doble hilera de clavos de acuerdo a como se ve en la siguiente figura que el maestro puede fotocopiar y entregar a sus alumnos para facilitarles la construcción de este geoplano. (Se puede usar el reverso de la tabla del anterior geoplano). En la circunferencia interior, los clavos están separados cada 15 grados, en la exterior cada 10. De esta manera, los niños pueden jugar a formar ángulos cuya medida sea múltiplo de 5. Se pueden proponer ejercicios de trazar ángulos de medidas determinadas tales como 55º, 95º, 160º, 255º, etc. o también ejercicios que impliquen la ejercitación en la lectura de la medida de un ángulo, es decir, ante un ángulo que forme un equipo en su geoplano, alguien de otro equipo debe decir cuánto mide. Volver a contenido Los ángulos se clasifican según su medida:* Nombre Medida Figura Agudo Menor que 90° Recto 90° Obtuso Entre 90° y 180° Llano 180° Entrante Entre 180°y 360° Perigonal 360° El grado y algo más Múltiplos y submúltiplos del grado Lo mismo que para la unidad de longitud, también para la unidad de ángulos hay múltiplos y submúltiplos. Múltiplos del grado Submúltiplos del grado Los múltiplos de grado son: Ángulo recto = 90º : Si se divide el grado en 60 partes iguales, se tiene el ángulo de un minuto: 1 1' = -- de grado 60 Ángulo llano = 180º Si se divide el minuto en 60 partes iguales, se tiene, a su vez, el ángulo de un segundo: 1 11 1" = -- de minuto= -- de grado 60 3600 (Castelnuovo) Ángulo completo = 360º * Material didáctico a color, de apoyo para este tema, se encuentra en las páginas 13, 14, 47, 48 y en el cartel central. * Este cuadro fue tomado del libro de Luis A. Briseño Aguirre et al. Descubre y aprende matemáticas, Vol. 1, México, Pearson Educación, 2000, p. 86. Volver a contenido Referencias bibliográficas Briseño Luis A., et al. Descubre y aprende matemáticas, México, Pearson Educación, 2000. Castelnuovo E. Didáctica de la matemática moderna, México, Trillas, 1987. Cruikshank & sheffield, Teaching and learning elementary and middle school mathematics, Macmillan Publishing Company, 1992. Dienes y golding. La geometría a través de las transformaciones, Barcelona, Teide, 1976. Riveros M. y zanocco P, Geometría: aprendizaje y juego, Santiago, Ed. Universidad Católica de Chile, 1992.